Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．
（1）求证：△BCF≌△DCE；
（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC的值．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，可得∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD．根据△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，可知∠ECD+∠FCD=90度．所以∠BCF=∠ECD．所以△BCF≌△DCE．
（2）在Rt△BFC中，BF=

BC2-CF2

=

52-32

=4，所以可知DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90度．得到DE∥FC．可证明△DGE∽△CGF．所以DG：GC=DE：CF=4：3．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD．
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°．
∴∠BCF=∠ECD．
∴△BCF≌△DCE．（3分）

（2）解：在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF=

BC2-CF2

=

52-32

=4
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．（4分）
∴DE∥FC．
∴△DGE∽△CGF．（5分）
∴DG：GC=DE：CF=4：3．（6分）

点评：本题考查三角形全等的判定和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．