Question

已知二次函数y=cx²-2（a+b）x+c，其中a，b，c是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边．
（1）求证：二次函数y=cx²-2（a+b）x+c的图象与x轴交于两点．
（2）在△ABC中，∠C=90°，∠A＜∠B，且S_△ABC=24．若二次函数y=cx²-2（a+b）x+c的图象与x轴交于M（x₁，0），N（x₂，0）两点，且

1

x1

+

1

x2

=

14

5

，求sinB的值？

Answer 1

分析：（1）根据三角形的三边关系及判别式进行判断；
（2） 由∠C=90°，S_△ABC=24可知

1

2

ab=24，即ab=48，由抛物线与x轴两交点横坐标为x₁，x₂，由根与系数关系，得x₁+x₂=

2(a+b)

c

，x₁•x₂=1，代入

1

x1

+

1

x2

=

14

5

，结合a²+b²=c²，联立求a、b、c的值．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，a+b＞c，
y=cx²-2（a+b）x+c的判别式为△=[2（a+b）]²-4c²，
∴△＞0，即二次函数y=cx²-2（a+b）x+c的图象与x轴交于两点；
（2）解：∵∠C=90°，S_△ABC=24，∴

1

2

ab=24，即ab=48…①，
由根与系数关系，得x₁+x₂=

2(a+b)

c

，x₁•x₂=1，
代入

1

x1

+

1

x2

=

14

5

，得

2(a+b)

c

=

14

5

，即c=

5

7

（a+b）…②，
 又a²+b²=c²…③，
由①②③解得a=6，b=8，c=10，
∴sinB=

b

c

=

8

10

=

4

5

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角三角形的面积表达式，根与系数关系，勾股定理，列方程组求解．