Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5 cm，BC=6 cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2cm的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、P停止运动，设它们运动的时间为x（ s）．
（1）当点Q运动多少秒时，射线DE经过点C；
（2）当点Q运动多少秒时，△PQC与△PDE相似；
（3）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y（ cm²），求y与x的函数关系式（不写自变量取值范围）．

Answer 1

分析：（1）由于DE垂直平分PQ，所以只要CP=CQ，根据等腰三角形的性质，DE又是顶角的平分线，所以列出方程，求出x=2．
（2）过点A作AM⊥BC垂足为M．利用PQC∽△PDE得到AM⊥BC∠C=∠C，从而证得△PQC∽△AMC列出比例式求得x的值即可；
（3）由于四边形AQPB的形状不规则，所以可以用△ABC的面积减去△PQC的面积，而△PQC的面积可以用x表达，则四边形AQPB的面积也可以用x表达出来．

解答：解：（1）如图（1），当DE经过点C
∵DE⊥PQ，PD=QD
∴PC=CQ，
PC=6-x，CQ=2x，
即6-x=2x得x=2
∴当点Q运动了2秒时，直线DE经过点C；

（2）如图（2），过点A作AM⊥BC垂足为M．
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=3 cm
∵DE⊥PQ
∴当PQ⊥AC时，△PQC∽△PDE…（4分）
∵AM⊥BC∠C=∠C
∴△PQC∽△AMC
∴

QC

MC

=

PC

AC

即  

2x

3

=

6-x

5

解得x=

18

13

当点Q运动了

18

13

秒时，△PQC与△PDE相似．       …

（3）如图（3），分别过点Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足为M、N．∵AB=AC=5cm，BM=3cm，
∴AM=

52-32

=4（cm）
∵QN∥AM∴△QNC∽△AMC
∴

QN

AM

=

CQ

CA

即

QN

4

=

2x

5

解得  QN=

8

5

x…（7分）
又∵PC=6-x
∴S_△PCQ=

1

2

PC•QN=

1

2

(6-x)•

8

5

x
∴y=S_△ABC-S_△PCQ=

1

2

×6×4-

1

2

(6-x)•

8

5

x
即y=

4

5

x2-

24

5

x+12．

点评：本题需先证得三角形相似和待定系数法求二次函数解析式，再通过相似形的性质，解决问题，全面的考查了相似形的性质和判定．