题目内容
6、已知：a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．
分析：本题需先根据已知条件得出a4+b4+c4+d4-4abcd=0，然后再进行整理，得出（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0，再根据a，b，c，d都是正数这个条件，得出a=b，c=d，a=c，最后得出结果即可．
解答：证明：由已知可得：a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，
所以（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0．
因为（a2-b2）2≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，
所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，
所以（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=0．
又因为a，b，c，d都为正数，
所以a+b≠0，c+d≠0，
所以a=b，c=d．
所以ab-cd=a2-c2=（a+c）（a-c）=0，
所以a=c，
故a=b=c=d成立．
（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，
所以（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0．
因为（a2-b2）2≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，
所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，
所以（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=0．
又因为a，b，c，d都为正数，
所以a+b≠0，c+d≠0，
所以a=b，c=d．
所以ab-cd=a2-c2=（a+c）（a-c）=0，
所以a=c，
故a=b=c=d成立．
点评：本题主要考查了整式的等式证明问题，在解题时要注意采用综合法方法去证明这是解题的关键．
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