题目内容
如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．
【答案】分析：（1）要证明AD是⊙O的切线只要证明∠OAD=90°即可．
（2）根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．
解答：
（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠E=90°．
∵∠E=∠C，∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°，直径AE=2AO=6，AB=4，
∴
．
∵∠E=∠C=∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD=cos∠E．
∴
．
∴
．
点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的概念，勾股定理，余弦的概念求解．
（2）根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．
解答：
（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，∴∠EAB+∠E=90°．
∵∠E=∠C，∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°，直径AE=2AO=6，AB=4，
∴
．∵∠E=∠C=∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD=cos∠E．
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．点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的概念，勾股定理，余弦的概念求解．
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