Question

如图，抛物线y=x²-x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=-2x上．
（1）求A，B的坐标；
（2）以AC，CB为一组邻边作?ABCD，则点D关于轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先配方得到y=x²-x+a=（x-1）²+a-，得到抛物线的顶点坐标为（1，a-），然后代入y=-2x求得a=-，则抛物线的解析式为y=x²-x-，然后令y=0，得x²-x-=0，解方程得x₁=-1，x₂=3，即可得到A，B的坐标；
（2）先求出C点坐标（0，-），由四边形ACBD为平行四边形，则BD看做是AC平移得到，而C点（0，-）向上平移个单位，向右平移3个单位得到B点（3，0），
于是把A点（-1，0）向上平移个单位，向右平移3个单位得到D点（2，），则点D′的坐标为（2，-），然后把D′的坐标为（2，-）代入抛物线的解析式即可判断点D关于轴的对称点D′是否在该抛物线上．
解答：解：（1）∵y=x²-x+a=（x-1）²+a-，
∴抛物线的顶点坐标为（1，a-），
∵顶点在直线y=-2x上，
∴a-=-2×1，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-，
令y=0，则x²-x-=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0）；

（2）点D′在该抛物线上．理由如下：
如图，令x=0，y=-，则C点坐标为（0，-），
∵四边形ACBD为平行四边形，
∴BD看做是AC平移得到，
而C点（0，-）向上平移个单位，向右平移3个单位得到B点（3，0），
∴把A点（-1，0）向上平移个单位，向右平移3个单位得到D点（2，），
∵点D与点D′关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（2，-），
当x=2，y=x²-x-=×4-2-=-，
∴点D′在该抛物线上．
点评：本题考查了二次函数的综合题：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x-）2+；通过坐标平移变换的规律确定平行四边形第四个顶点的坐标；关于x轴对称的坐标特点；点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式．