Question

如图①所示，直线l：

4

3

x+4交x轴、y轴于点A、B，直线l∥m交x轴、y轴于点C、D．过点A、D作直线n，所构成△BAD为直角三角形．直线n以每秒1个单位的速度向DC方向平移至点C停止，设运动时间为t．
（1）求直线n（未运动时）与直线m的函数解析式．
（2）请直接写出直线n运动至点C时的t值，并试求直线l与直线m之间的距离．
（3）如图②，当直线n运动到点c时，在点c右侧是否存在直线s：x=b，使得它与直线l、直线m与直线n所构成的四边形的面积为25．若存在，请求出直线s的函数解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据直线l的解析式求出点A、B的坐标，然后根据△ABO与△DAO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再根据两平行直线的解析式k值相等，利用待定系数法列式求解即可得到直线m、n的解析式；
（2）根据直线m的解析式求出点C的坐标，得到OC、OD的长度，然后利用勾股定理列式计算求出CD的长度，再根据速度是每秒1个单位求解t的值，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出AD的长，即为直线l、m间的距离；
（3）假设存在直线s，先根据相似三角形对应边成比例列式求出AE、CE的长度，再根据直线l、m的解析式求出HG、HF的长度，然后根据所构成的四边形的面积=S_△AGH-S_△ACE-S_△FCH，列式进行求解即可．

解答：解：（1）当y=0时，

4

3

x+4=0，解得x=-3，
当x=0时，y=4，
∴点A、B的坐标为A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵△BAD为直角三角形，
∴AD⊥AB，
明显可得△ABO∽△DAO，
∴

OA

OD

=

OB

OA

，
即

3

OD

=

4

3

，
解得OD=

9

4

，
∴点D的坐标为（0，-

9

4

），
设直线n的解析式为y=kx-

9

4

，
则-3k-

9

4

=0，
解得k=-

3

4

，
∴直线n的解析式为y=-

3

4

x-

9

4

，
∵直线m与l平行，且经过点D，
∴直线m的解析式为y=

4

3

x-

9

4

；

（2）当y=0时，

4

3

x-

9

4

=0，
解得x=

27

16

，
∴点C的坐标为（

27

16

，0），
∴OC=

27

16

，
∴CD=

OD2+OC2

=

( 9 4 )2+( 27 16 )2

=

45

16

，
∴t=CD÷1=

45

16

，
在Rt△ACD中，AC=3+

27

16

=

75

16

，
AD=

AC2-CD2

=

( 75 16 )2-( 45 16 )2

=

60

16

=

15

4

，
∴直线l、m间的距离为

15

4

；

（3）如图，假设存在直线s=b，
则CH=b-

27

16

，FH=

4

3

b-

9

4

，HG=

4

3

b+4，AH=b-（-3）=b+3，
∴S_△FCH=

1

2

CH•FH=

1

2

（b-

27

16

）（

4

3

b-

9

4

），S_△AGH=

1

2

AH•HG=

1

2

（b+3）（

4

3

b+4），
又∵由CE⊥AB，可得△ACE∽△ABO，
∴

OA

AE

=

OB

CE

=

AB

AC

，
即

3

AE

=

4

CE

=

5

75 16

，
解得AE=

45

16

，CE=

15

4

，
∴S_△ACE=

1

2

AE•CE=

1

2

×

45

16

×

15

4

=

1

2

×

675

64

，
∴四边形的面积=S_△AGH-S_△ACE-S_△FCH，
=

1

2

（b+3）（

4

3

b+4）-

1

2

×

675

64

-

1

2

（b-

27

16

）（

4

3

b-

9

4

）=25，
整理得，

25

2

b=

1675

32

，
解得b=

67

16

，
∵

67

16

＞

27

16

，
∴直线s在点C的右侧，
故存在直线s：x=

67

16

，使得它与直线l、直线m与直线n所构成的四边形的面积为25．

点评：本题综合考查了一次函数，坐标与图形的变化，待定系数法求直线解析式，两平行直线的k值相等，求解数据比较复杂，运算量较大，计算时要仔细认真，对运算能力要求比较高．