Question

已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切．试证：EF中点P是△ABC之内心．

Answer 1

证明：如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上．
易知AQ=．
∵QK•AQ=MQ•QN，
∴QK=
==sinα•（2R-r）．
由Rt△EPQ知PQ=sinα•r．
∴PK=PQ+QK=sinα•r+sinα•（2R-r）=sinα•2R．
∴PK=BK．α
利用内心等量关系之逆定理，
即知P是△ABC的内心．
分析：根据内切圆的性质可以得出EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上，再利用相交弦定理表示出QK，再结合正弦定理运用两圆的半径表示出QK，
点评：此题主要考查了内心的有关知识与相交弦定理，以及余弦定理的应用和内心等量关系等知识．