Question

已知函数（是常数）

（1）若该函数的图像与轴只有一个交点，求的值；

（2）若点在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数都是随的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；

（3）设抛物线与轴交于两点，且，，在轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①当时，函数为为一次函数，它的图像与x轴只有一个交点。

②当时，若函数的图像与x轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，解得。

综上所述，若函数的图像与x轴只有一个交点，则的值为0或。

（2）设反比例函数为，

∵点在反比例函数的图像上，∴，即.。

∴反比例函数为。

∵要使该反比例函数y随着x的增大而增大，则。

∵二次函数的对称轴为，

∴要使二次函数的y随着x的增大而增大，在的情况下，x必须在对称轴的左边，即。

综上所述，要使该反比例函数和二次函数都y随着x的增大而增大，必须且。

  （3）存在。

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴一元二次方程方程的判别式，解得。

又∵，∴，解得或。

又∵，∴。

∴二次函数为。

设P（0，p）是满足条件的点，则，即。

∴。∴。∴。

∴。∴。

∴。

∴在y轴上，存在点P（0，）或（0，）,使△ABP是直角三角形，△ABP的面积为。

【解析】（1）分和两种情况讨论即可。

（2）根据二次函数和反比例函数的性质求解。

（3）若△ABP是直角三角形，则一定是∠APB=90⁰，从而由已知，，根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，求出k的值，进而根据勾股定理即可求得点P的坐标，求得△ABP的面积。