Question

（2012•锦江区一模）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：首先假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，易证得△PBC∽△DAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得此时AP的长．

解答：解：假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠A=90°，
∵PQ⊥PD，
∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△PBC∽△DAP，
∴

PB

DA

=

BC

AP

，
∴

10-AP

4

=

4

AP

，
∴AP=2或8，
∴存在点P使得点Q与点C重合，此时AP的长2或8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与矩形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．