Question

【题目】（1）问题发现

如图1，在中，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为______________；

（2）拓展探究

在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接，线段与的数量关系有无变化?请仅就图2的情形进行说明；

（3）问题解决．

当正方形旋转到三点共线时，直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）无变化，说明见详解；（3）或

【解析】

(1)先利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再得出AD=AF，即可得出结论；
(2)先利用等腰直角三角形和正方形的性质得：，并证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；

（3）分当点E在线段BF上时和当点E在线段BF的延长线上时讨论即可求得线段的长．

解：(1)在Rt△ABC中，AB=AC，
∵D是BC的中点，
∴AD=BC=BD，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD，
∵正方形CDEF，
∴DE=EF，
当点E恰好与点A重合，
∴AB=AD=AF，即BE=AF，
故答案为：BE=AF；

(2)无变化；

如图2，在中，

∴，∴

在正方形中，

在中，

∴

∵

∴

在和中

∴∽

∴

∴线段和的数量关系无变化．

(3) 或.

当点E在线段BF上时,

如图2，

∵正方形，由（1）知AB=AD=AF，

∴CF=EF=CD=2,

在Rt△BCF中，CF=2,BC=4,

根据勾股定理得，BF=,

∴BE=BF-EF=-2,

由（2）得，，

∴AF=;

当点E在线段BF的延长线上时，如图，

同理可得，BF=,

BE=BF+EF=+2,

∴AF=,

综上所述，当正方形旋转到三点共线时，线段的长为或．