Question

（1）解方程：3x²-

2

x-2=0，并计算两根之和．
（2）求证：无论a为任何实数，关于x的方程（2a-1）x²-2ax+1=0总有实数根．

Answer 1

分析：（1）解方程可以利用公式法即可求出结果，然后根据结果可以求出两根之和，也可以利用根与系数的关系求出；
（2）①当2a-1=0，即a=

1

2

时，原方程化为-x+1=0，方程有实根x=1；
②当2a-1≠0，即a≠

1

2

时，要证明关于x的方程（2a-1）x²-2ax+1=0总有实数根就是证明其判别式永远是非负数，所以求出判别式即可．

解答：（1）解：a=3，b=-

2

，c=-2
∴△=（-

2

）²-4×3×（-2）=2+24=26＞0
∴x=

2 ± 26

2×3

，
∴x₁=

2 + 26

6

，x₂=

2 - 26

6

．
∴x₁+x₂=

2

3

；

（2）证明：当2a-1=0，即a=

1

2

时，原方程化为-x+1=0，方程有实根x=1；
当2a-1≠0，即a≠

1

2

时，△=4a²-4（2a-1）×1=4（a²-2a+1）=4（a-1）²≥0．
∴方程必有两个实根．
综上所述，无论a为何实数，方程总有实数根．

点评：（1）题考查了一元二次方程的解法，并且利用方程的根求出了两根之和；
（2）题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．