Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S₁，S₂，S₃．
（1）设AF=x，试用x表示S₁与S₃的乘积S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）设=t，试用t表示EF的长；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，=4S₁S₃．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据三角形的面积公式解答即可；
（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，根据=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出====，所以NE=，根据EF=FN+NE即可得出结论；
（3）根据AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根据三角形的面积公式可用t表示出S₁，S₃，S₂，由s₂²=4S₁S₃．即可得出t的值．
解答：解：（1）∵S₁=AD•AF=x，
S₃=BC•BF=×2×（3-x）=3-x，
∴S₁S₃=x（3-x）
=（-x²+3x）
=[-（x-）²+]
=-（x-）²+（0＜x＜3），
∴当x=时，S₁S₃的最大值为；

（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，
∵=t，
∴AF=tFB，
∵BM=MC=AD=1，
∴====，
∴NE=，
∴EF=FN+NE=1+=；

（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，
∴FB=，
∴AF=tFB=，
∴S₁=AD•AF=×=，
S₃=BC•FB=×2×=；
S₂=AB•FE=×3×=，
∴S₁S₃=，S₂²=，
∴=4×，即4t²-4t+1=0，解得t=．
点评：本题考查的是相似形综合题，熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题的关键．