Question

已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E。
（1）求证：四边形ABED为矩形；
（2）若AB=4，，求CF的长。

Answer 1

解：（1）∵⊙D与AB相切于点A，
∴AB⊥AD，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°，
∴四边形ABED为矩形；
（2）∵四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=4，
∵DC=DA，
∴点C在⊙D上，
∵D为圆心，DE⊥BC，
∴CF=2EC，
∵，
设AD=3k（k＞0）则BC=4k，
∴BE=3k，EC=BC-BE=4k-3k=k，DC=AD=3k，
由勾股定理得DE²+EC²=DC²，
即4²+k²=（3k）²，
∴k²=2，
∵k＞0，
∴k=，
∴CF=2EC=2。