Question

（2006•烟台）（1）如图1，正方形ABCD中，E，F，GH分别为四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH为正方形．
（2）如图2，有一块边长1米的正方形钢板，被裁去长为米、宽为米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意易得：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，故四边形EFGH是菱形；又有∠4=90°，故四边形EFGH是正方形；
（2）先根据题意设原正方形为ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且AH=x；根据平行线的性质，得；解得x的值，分别求出面积并比较大小可得答案．
解答：（1）证明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（2分）
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2，（3分）
∴四边形EFGH是菱形，（4分）
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=90°，
∴四边形EFGH是正方形；（5分）

（2）解：如图，设原正方形为ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH过点P．
设AH=x，则AE=1-x．
∵MP∥AH，
∴，（6分）
整理得12x²-11x+2=0，
解得，（7分）
当时，S_{正方形EFGH}=，
当时，S_{正方形EFGH}=，
∴当BE=DG=米，BF=DH=米时，裁下正方形面积最大，面积为米²．（9分）
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．