Question

如图，已知平面坐标系中，A（-1，5），B（2，0），C（-3，-1）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）写出A、B、C三点关于y=3的直线对称点A₁、B₁、C₁的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最短，求出P点坐标．

Answer 1

分析：（1）设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-1，5），C（-3，-1）代入得到方程组，求出方程组的解，求出直线与X轴的交点坐标，根据三角形的面积求出即可；
（2）根据轴对称的性质求出即可；
（3）求出A关于Y轴的对称点M的坐标，连接CM交Y轴于P，求出直线MC的解析式，求出与Y轴的交点即可．

解答：解：（1）设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，5），C（-3，-1）代入得：

5=-k+b -1=-3k+b

，
解得：k=3，b=8，
∴y=3x+8，
把y=0时，0=3x+8，
∴x=-

8

3

，
∴D（-

8

3

，0），
∴△ABC的面积是S_△ABD+S_△BCD=

1

2

×（2+

8

3

）×5+

1

2

×（2+

8

3

）×1=14．
答：△ABC的面积是14．

（2）根据轴对称的性质得到A₁（-1，1），B₁（2，6），C₁（-3，7）．

（3）作A关于Y轴的对称点M，连接CM交Y轴于P，则P为所求，
M的坐标是（1，5），
设直线MC的解析式是：y=ax+c，
代入得：

5=a+c -1=-3a+c

，
解得：a=

3

2

，c=

7

2

，
∴y=

3

2

x+

7

2

，
把x=0代入得：y=

7

2

，
∴P（0，

7

2

）．
答：P点坐标是（0，

7

2

）．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称-最短问题，坐标与图形变化-对称等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．