Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，的平分线AE交CD于点F交BC的延长线于点E．

（1）求证：；

（2）连接BF、AC、DE，当时，求证：四边形ACED是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，即可得∠AEB=∠DAE，由AE是∠BAD的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE，所以∠BAE=∠AEB，即可判定AB=BE，由此即可证得结论；（2）已知AB=BE，BF⊥AE，由等腰三角形三线合一的性质可得AF=EF，再证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质可得CF=DF，由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可判定四边形ACED是平行四边形．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=CD；

（2）∵AB=BE，BF⊥AE，

∴AF=EF，

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠AEC，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴CF=DF，

∵AF=EF，CF=DF，

∴四边形ACED是平行四边形．