题目内容

某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A₁，A₂，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．
探索
如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP
（1）求证：四边形OMEP是菱形；
（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）
运用
（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的 $数学公式$ ，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵AB∥EQ，
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四边形OMEP是菱形．

（2）∵E点的坐标为（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（m-y）²=x²+y²．
y=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （0＜x＜ $\text{[math]}$ ）．

（3）根据（2）知，点K的坐标为（x，- $\text{[math]}$ +4）．
设EC的长为x，DE=BE=12-x，DC=8，
x²+8²=（12-x）²
x= $\text{[math]}$ ．
同理：GH= $\text{[math]}$ ，DH= $\text{[math]}$ ，
△ECF∽△DHF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得CF=5，
∴△ECF的面积为： $\text{[math]}$ CE•CF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×5= $\text{[math]}$ ．
△OCK的面积为： $\text{[math]}$ ×12（- $\text{[math]}$ +4）．
△KCF的面积： $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ +4）+ $\text{[math]}$ ．
根据△KCF的面积是△KOC面积得， $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×12（- $\text{[math]}$ +4）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ +4）+ $\text{[math]}$ ，
可求出x=4 $\text{[math]}$ ，
所以K的坐标为：（4 $\text{[math]}$ ，1）．
分析：（1）如果四边形的四边相等，那么这个四边形是菱形．
（2）根据P点的坐标，可表示出E点的坐标，从而可知道OP的长，用勾股定理表示出解析式．
（3）画出图形，从图上可看出不存在．
点评：本题考查了菱形的判定定理，矩形的性质，相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方以及翻折变换的知识．