Question

已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．
（1）若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似．求AF：AD的值；
（2）若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形，且每个小长方形的每条边与矩形ABCD的边平行，求这两个小长方形周长和的最大值．

Answer 1

分析：（1）设AF=x，再根据矩形ABEF与矩形ABCD相似即可求出x的值，进而得出AF：AD的值；
（2）由于小矩形放置的位置不确定，故应分三种情况讨论：
①两个小矩形都“竖放”；②两个小矩形都“横放”；③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”．

解答：解：（1）设AF=x，
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，AD=3，AB=1，
∴

AB

AD

=

AF

CD

，即

1

3

=

x

1

，解得x=

1

3

，
∴AF：AD=

1

3

：3=1：9；

（2）解：两个小矩形的放置情况有如下几种：
①两个小矩形都“竖放”，如图（一），在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，边长分别为1和

1

3

，
故此时周长和的最大值为

16

3

．

②两个小矩形都“横放”，如图（二）及图（三）所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
2（a+3a）+2[1-a+3（1-a）]=8．

③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图（四），这时两个小矩形的周长和为
2（a+3a）+2（3-a+

3-a

3

）=8+

16a

3

，

因为0＜3a≤1，即0＜a≤

1

3

，故当a=

1

3

时，此时两个小矩形的周长和最大为

88

9

，
综上三种情形，知所求的最大值为

88

9

．
故答案为：

88

9

．

点评：本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解答此题时要注意分类讨论．