Question

如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB=4。

（1）求点B，P，C的坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）若二次函数y=-x²+（a+1）x+6的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y=2x+b值的x的取值范围。

Answer 1

解：（1）如图，连结
∵
∴
∵
∴
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB=90°
∵CP=BP，OB=OA，
∴AC=2OP=2
∴B（2，0），P（0，1），C（-2，2）。

（2）证明：∵y=2x+b过C点，
∴b=6
∴y=2x+6
∵当y=0时，x=-3，
∴D（-3，0）
∴AD=1
∵OB=AC=2，AD=OP=1，∠CAD=∠POB=90°，
∴△DAC≌△POB
∴∠DCA=∠ABC
∵∠ACB+∠CBA=90°，
∴∠DCA+∠ACB=90°
∴DC是⊙P的切线。
（3）过点
∴
∴
∴
因为函数与图象交点是（0，6）和点D（-3，0）
所以满足条件的x的取值范围是x＜-3或x＞0。