Question

【题目】如图，在Rt△ABC的顶点A、B在x轴上，点C在y轴上正半轴上，且

A(－1，0)，B(4，0)，∠ACB＝90°.

(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设抛物线的对称轴l与BC边交于点D，若P是对称轴l上的点，且满足以P、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，求P点的坐标；

(3)在对称轴l和抛物线上是否分别存在点M、N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1 备用图

Answer 1

【答案】见解析

【解析】分析：(1)根据求出点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)分两种情况进行讨论即可.

(3)存在. 假设直线l上存在点M，抛物线上存在点N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形.分当平行四边形是平行四边形时，当平行四边形AONM是平行四边形时，当四边形AMON为平行四边形时，三种情况进行讨论.

详解：(1)易证，得，

∴OC=2，∴C(0，2),

∵抛物线过点A(-1，0)，B(4，0)

因此可设抛物线的解析式为

将C点(0，2)代入得:，即

∴抛物线的解析式为

(2)如图2，

当时，则P1(，2),

当 时，

∴OC∥l,

∴，

∴P2H＝·OC＝5，

∴P2 (，5)

因此P点的坐标为(，2)或(，5).

(3)存在.

假设直线l上存在点M，抛物线上存在点N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形.

如图3，

当平行四边形是平行四边形时，M(，)，(,),

当平行四边形AONM是平行四边形时，M(，)，N(,),

如图4，当四边形AMON为平行四边形时，MN与OA互相平分，此时可设M(，m)，则

∵点N在抛物线上，

∴-m＝-·(-+1)( --4)=-,

∴m=,

此时M(，)， N(-,-).

综上所述，M(，)，N(,)或M(，)，N(,) 或 M(，)， N(-,-).