Question

已知：在一列数a₁、a₂、…、a₂₀₀₈中，任意相邻三个数的和都等于31，a₃=m+n，a₉₈=m-n+2，a₂₀₀₈=3m+n，m、n为实数，且2a₁-3a₃=11．
（1）请说明a₉₈=a₂，a₂₀₀₈=a₁；
（2）求a₂₀₀₈的值．

Answer 1

（1）∵任意相邻三个数的和都相等，
∴对于任意正整数k，都有a_k+a_k+1+a_k+2=a_k+1+a_k+2+a_k+3．
∴a_k=a_k+3．
∵98=3×32+2，2008=3×669+1，
∴a₉₈=a₂，a₂₀₀₈=a₁，

（2）∵a₉₈=m-n+2，a₂₀₀₈=3m+n，
∴a₂=m-n+2，a₁=3m+n．
∵a₁+a₂+a₃=31，2a₁-3a₃=11，a₃=m+n，
∴

5m+n=29 3m-n=11

，
解得：

m=5 n=4

，
故可得a₂₀₀₈=3m+n=19．