Question

根据“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”来观察下图：
（1）已知OM是∠AOB的平分线，P是OM上的一点，且PE⊥OA，PF⊥OB．垂足分别为E．F，那么______=______．这是根据“______”可得△POE≌△POF而得到的．
（2）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，AB=6cm，则△DEB的周长为______cm．

Answer 1

解：两边的距离相等，
（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠POE=∠POF，
又∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
又∵OP=OP，
∴△POE≌△POF，
∴PE=PF；

（2）△DEB的周长是6cm．
∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=6cm．
分析：（1）由AM是角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，AP=AP，利用AAS易证△POE≌△POF，再根据全等三角形的性质可得PE=PF；
（2）先根据角平分线定理可得CD=ED，而AD=AD，那么△ACD≌△AED，则有AC=AE，又AC=BC，等量代换可得BC=AE，易求△DEB的周长等于AB，即等于6cm．
点评：本题考查了角平分线的定义和性质、全等三角形的判定和性质；进行相等线段的等量代换是正确解答本题的关键．