Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+c=0，方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根；
②若方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有b²-4ac=（2am+b）²成立．
其中正确地只有

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ③④
4. D.
   ①④

Answer 1

D
分析：①根据根的判别式即可作出判断；
②方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b²-4ac＞0，判断方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一个根，即方程有实根，判别式△≥0，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
解答：①因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b²-4ac＞0，所以方程有两个实数根；
②若方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b²-4ac＞0，所以方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，当c=0时，ac+b+1=0不一定成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一个根，所以有am²+bm+c=0，
即am²=-（bm+c），
而（2am+b）²=4a²m²+4abm+b²=4a[-（bm+c）]+4abm+b²=-4abm-4ac+4abm+b²=b²-4ac．
所以①④成立．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，此考点一直是中考中的一个经久不衰的老考点．