Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，请判断直线FA与⊙O的位置关系？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
而∠BAE=∠DAB，
∴△BAE∽△DAB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB²=AD•AE，
又∵AE=2，ED=4．
∴AD=6，
∴AB²=2×6=12，
∴AB=2；

（2）直线FA与⊙O相切．理由如下：
连OA，如图，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD===4，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=BO，
又∵BF=BO，
∴AB=BF=BO，
∴∠ABO=∠AOB=60°，∠F=∠FAB，
∴∠F=∠FAB=∠ABO=30°，
∴∠OAF=∠FAB+∠BAO=90°，
∴直线AF是⊙O的切线．
分析：（1）易证得△BAE∽△DAB，得到AB：AD=AE：AB，即AB²=AD•AE，而AE=2，ED=4，即可计算出AB的长；
（2）连OA，根据圆周角定理的推论得到∠BAD=90°，再利用勾股定理计算出BD，得到∠D=30°，易得△OAB为等边三角形，则有AB=BF=BO，根据圆周角定理的推论得到△OAF为直角三角形，即∠OAF=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AF是⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质．