Question

如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=

2

AE．请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）中易证AD=AB，又EB=DF，∠ADF=∠ABE，利用有两边和其夹角对应相等的两个三角形从全等，即可证明；
（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以EF=

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AE，所以只需证明DE-BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题．

解答：证明：（1）∵四边形正ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵在△ADF和△ABE中，

AD=AB ∠ADF=∠EBA DF=BE

，
∴△ADF≌△ABE；

（2）理由如下：
由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4，
在正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠3=90°，
∴∠BAF+∠4=90°，
∴∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∴EF²=AE²+AF²，
∴EF²=2AE²，
∴EF=

2

AE，
即DE-DF=

2

AE，
∴DE-BE=

2

AE．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目综合性很强，对于提高学生的综合解题能力来说是一道不错的题目．