Question

已知关于的一元二次方程.
（1）若是该方程的一个根，求的值；
（2）无论取任何值，该方程的根不可能为，写出的值，并证明；
（3）若为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数的值．

Answer 1

（1）；（2）（2），证明见解析；（3）或.

试题分析：（1）根据一元二次方程的根的概念，将代入方程，即可求得a的值；（2）把代入，得，从而得到当时，无论取何值，此等式均不成立的结论；（3）由，记，为正整数，得，根据为非负数，且，且与奇偶性相同的性质，得到 或，解之即得所求.
试题解析：（1）∵是方程的一个根，∴， 解得.
（2），证明如下：
把代入，得，即，
∴当时，无论取何值，此等式均不成立.
∴无论取任何值，该方程的根不可能为.
（3）∵，记，为正整数，
∴，即，.
∵为非负数，且，且与奇偶性相同，
∴ 或，解得：或.
经验证，当或时正整数数，符合题意.