题目内容

如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（3）当△BON面积最大时，连接AN，若点P坐标平面内，并使得△BOP∽△OAN（点B、O、P分别与点O、A、N对应），请直接写出点P的坐标．
分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；
（3）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理分别计算出BO=6
2
，OA=2
2
，AN=
5
17
4
，ON=
3
17
4
，这样可求出OP=
5
17
4
，BP=
9
17
4
，设P点坐标为（x，y），再利用勾股定理得到关于x，y的方程组，解方程组即可．
解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得
4a-2b+c=2
36a+6b+c=6
c=0
，
解得
a=
1
4
b=-
1
2
c=0
，
∴y=
1
4
x2-
1
2
x，

（2）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，
联立
y=
1
4
x2 -
1
2
x
y=x+m
，得x2-6x-4m=0，
当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到OB的距离最大，所以△BON面积最大，
解得m=-
9
4
，x=3，y=
3
4
，即N（3，
3
4
）；
此时△BON面积=
1
2
×6×6-
1
2
（
3
4
+6）×3-
1
2
×
3
4
×3=
27
4
；

（3）过点A作AS⊥GQ于S，
∵A（-2，2），B（6，6），N（3，
3
4
），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG=
3
4
，NS=
5
4
，AS=5，
在Rt△SAN和Rt△NOG中，
∴tan∠SAN=tan∠NOG=
1
4
，
∴∠SAN=∠NOG，
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG，
∴∠OAN=∠BON，
∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，
∵A（-2，2），N（3，
3
4
），
∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2，2），N（3，
3
4
），B（6，6），
∴BO=6
2
，OA=2
2
，AN=
5
17
4
，ON=
3
17
4
，
∴OP=
15
17
4
，BP=
9
17
4
，
设P点坐标为（4x，x），
∴16x2+x2=（
15
17
4
）2，
解得x=
15
4
，4x=15，
∵P、P′关于直线y=x轴对称，
∴P点坐标为（15，
15
4
）或（
15
4
，15）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，平面直角坐标系中，O为直角三角形ABC的直角顶点，∠B=30°，锐角顶点A在双曲线y=
1x
上运动，则B点在函数解析式
 
上运动．
如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，-1），AB精英家教网=2
3
．
（1）求⊙P的半径．
（2）将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．
如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2）．将△AOB绕点A逆时针旋转90°，则点O的对应点C的坐标为（　　）
如图：平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标为A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a，b，c满足
a+2
+|b-2|+(c-b)2=0．点D为线段OA上一动点，连接CD．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图，过点D作CD的垂线，过点B作BC的垂线，两垂线交于点G，作GH⊥AB于H，求证：
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
；
（3）如图，若点D到CA、CO的距离相等，E为AO的中点，且EF∥CD交y轴于点F，交CA于M．求
FC+2AE
3AM
的值．
如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6）C是线段AB的中点．请问在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网