Question

如图，⊙O是Rt的外接圆，，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA ＝ PB。求证：PB是⊙O的切线

Answer 1

证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO=∠PBO．
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB．
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线。

要证PB是⊙O的切线，只要连接OB，求证∠OBP=90°即可；

解答：
证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO=∠PBO．
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB．
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线。
说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB。