Question

如图，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=．
（1）求证：OP=BC；
（2）如果AE²=EP•EO，且AE=，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需根据垂径定理证明AP=CP，再根据三角形的中位线定理即可证明；
（2）根据所给的比例式发现相似三角形，从而得到∠OAE=90°．又根据已知的比例式可以求得OE的长，再根据勾股定理即可．
解答：（1）证明：∵，OM为圆的半径，AC为圆的弦，
∴P为AC的中点，即AP=CP，
又∵OA=OB，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=BC；

（2）解：∵AE²=EP•EO，
∴．
又∵∠E=∠E，
∴△AEO∽△PEA，
∴∠OAE=∠APE，
∵，
∴MO⊥AC，即∠APE=90°，
∴∠OAE=90°，
∴OP=BC，BC=6，
∴OP=3，
又∵AE²=EP•EO，且AE=6，EP=EO-OP=EO-3，
∴EO（EO-3）=（6）²，
解得：EO=15，EO=-12（舍去）．
在Rt△OAE中，EO=15，AE=6，
根据勾股定理得：OA=．
∴⊙O的半径为3．
点评：熟练运用相似三角形的判定、勾股定理、垂径定理、三角形的中位线定理．