Question

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是过点A的一条直线，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）如图①，求证：DE=BD+CE；
（2）若直线l绕A点旋转到图②位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD、CE与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出BD、CE与DE之间的数量关系．

解答：证明：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD               
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠CAE(已证) ∠ADB=∠CEA=90°(已证) AB=AC(已知)

，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；

（2）如图②所示：
结论：DE=CE-BD．
理由：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠AEC=90°
∵∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠CAE(已证) ∠ADB=∠CEA=90°(已证) AB=AC(已知)

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABD≌△CAE是解题关键．