Question

如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，连结BE．
（1）求证：∠BAE=2∠CBE；
（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长

2

13

．

Answer 1

分析：（1）求出∠ABE=∠AEB，求出∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+2∠ABE=180°，即可求出答案；
（2）过B作BO⊥AE于O，连接EG，根据矩形性质得出EG=AF，求出BC=BO=AG，求出M为BG中点，根据三角形中位线求出即可；
（3）根据勾股定理求出DE，求出求出OM=

1

2

DE=2，根据勾股定理求出BM，代入BG=2BM求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形A点正好落在CD上的点E处，
∴BC=AG，∠EAG=90°，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
∴2∠ABE+∠BAE=180°，
∵∠CBE+∠ABE=90°，
∴2∠CBE+2∠ABE=180°，
∴∠BAE=2∠CBE．

（2）MN=

1

2

AF，
证明：过B作BO⊥AE于O，连接EG，
∵四边形AEFG是矩形，
∴AF=EG，∠MAG=∠BOM=90°，
∵∠C=∠CBA=90°，
∴∠AEB=∠ABE=90°-∠CBE，∠CEB=90°-∠CBE，
∴∠CEB=∠OEB，
在△CBE和△OBE中

∠CBE=∠OBE ∠C=∠BOE=90° BE=BE

∴△CBE≌△OBE（AAS），
∴EC=OE，BO=BC=AD=AG，
在△BOM和△GAM中

∠AMG=BME ∠BOM=∠GAM BO=AG

，
∴△BOM≌△GAM（AAS），
∴BM=GM，
∵点N为BE的中点，
∴MN=

1

2

EG，
∵EG=AF，
∴MN=

1

2

AF．

（3）解：在Rt△DEA中，∠EDA=90°，AD=BC=3，AE=AB=5，由勾股定理得：DE=4，
∵△BOM≌△GAM，△CBE≌△OBE，
∴OM=AM，EC=EO，
∴OM=

AE-OE

2

=

AB-EC

2

=

ED

2

=

4

2

=2，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM=

BO2+OM2

=

32+22

=

13

∵BM=GM，
∴BG=

13

+

13

=2

13

，
故答案为：2

13

．

点评：本题考查了勾股定理，矩形性质，旋转性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生综合运行定理进行推理的能力，有一定的难度．