Question

（2012•西湖区一模）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数 y=(a-

b

2

)x2-cx-a-

b

2

（其中2a≠b），
（1）当b=2a+8c时，求二次函数的对称轴；
（2）当x=1时，二次函数最小值为-

8

5

b，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根据函数解析式，代入对称轴的公式，在计算过程中，注意把b=2a+8c代入即可；
（2）根据题意可知对称轴是x=1，于是-

-c

2×(a- b 2 )

=1，化简得c=2a-b，然后把x=1代入二次函数解析式可得c=

3

5

b，把c=

3

5

b代入c=2a-b中可得a=

4

5

b，计算可得a²+c²=b²，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）根据二次函数对称轴的公式，得
x=-

-c

2×(a- b 2 )

=

c

2a-b

=

c

2a-(2a+8c)

=-

1

8

；

（2）根据题意可知
-

-c

2×(a- b 2 )

=1，
化简得
c=2a-b①，
把x=1代入函数解析式，可得
a-

b

2

-c-a-

b

2

=-

8

5

b，
即c=

3

5

b②，
把②代入①，得
a=

4

5

b，
∴a²+c²=

9

25

b²+

16

25

b²=b²，
∴△ABC是以b为斜边的直角三角形．

点评：本题考查了二次函数性质、二次函数最值，解题的关键是区分公式中a、b、c与三角形三边a、b、c的不同，灵活使用勾股定理逆定理．