Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为          顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

          

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；．

（2）在中，，

．

设点的坐标为，其中，

∵顶点，

∴设抛物线解析式为．

①当时，，

．

解得（舍去）；．

．

．

解得．

抛物线的解析式为

②当时，，

．

解得（舍去）．

③当时，，这种情况不存在．

综上所述，符合条件的抛物线解析式是．

（3）存在点，使得四边形的周长最小．

作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．

，．

．

．

又，

 ，此时四边形的周长最小值是．

【解析】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；

（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式．因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是惟一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点进行分类计算．