Question

已知：如图，抛物线的顶点坐标是（4，1），与轴的交点为A（0，5）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若B（，0），C是（1）中抛物线上的点，CD⊥OB，垂足为D，△AOB∽△BDC．

①求点C的坐标；

②试判定以AC为直径的圆M与轴有怎样的位置关系，

并说明理由．

Answer 1

    解：(1)设抛物线的解析式为 y=a(x-4)²+1

           ∵抛物线经过A(0,5)  ∴5=a(0-4)²+1  ∴a=

           ∴抛物线的解析式为y=(x-4)²+1即y=x²-2x+5

（注：直接写出解析式y=(x-4)²+1不扣分）

        (2)①∵C在抛物线上 ∴设C(m,m²-2m+5)

             即CD=m²-2m+5  OD=m

             ∴BD=OD-OB=m-        

             ∵△AOB∽△BDC

             ∴= 即=    

             解得m=5  ∴C(5, )      

           ②法一：∵∠CBD=∠BAO  ∠BAO+∠ABO=90°

                   ∴∠CBD+∠ABO=90° ∴∠ABC=90°

                   即△ABC是Rt△   

连结MB ∵M是AC的中点 ∴MB=AC

∵OB=BD= ∴MB∥OA ∴MB⊥x轴

即圆M与x轴相切.     

                 法二：∵M是AC的中点 ∴M(,)

                           ∴M到x轴距离d是.    

                           过C作CE⊥y轴于E，则CE=OD=5

                           AE=OA-OE=OA-CD=

                           ∴AC===

                       ∴d=AC 即圆M与x轴相切