Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．

Answer 1

（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠DCB=∠ODC，再根据三角形的外角的性质得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到结论；（2）2

解析试题分析：（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠DCB=∠ODC，再根据三角形的外角的性质得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到结论；
（2）过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，根据垂径定理可得CM=DM，又O为EC的中点，可得OM为△DCE的中位线，即可求得DE的长，在Rt△OCM中，根据含30°的直角三角形的性质可得OC=2OM=2，Rt△BDO中，OE=BE，可得DE=BO，即得BO=BE+OE=2OE=4，在Rt△BDO中，根据勾股定理即可求得结果．
（1）连接OD，

∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥CD于点M，连接DE

∵OM⊥CD，
∴CM=DM，又O为EC的中点，
∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，
∴DE=2OM=2，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∵Rt△BDO中，OE=BE，
∴DE=BO，
∴BO=BE+OE=2OE=4，
∴OD=OE=2，
在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=2．
考点：圆的综合题
点评：圆的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.