Question

如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中

CD

=

CB

，其中CE⊥AB于E．
（1）求证：AB=AD+2BE；
（2）若∠B=60°，AD=6，△ADC的面积为

15

2

3

，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）首先根据三角形的面积公式求得CF的长，根据全等三角形的性质求得∠B=∠CDF=60°，从而求得DF的长，结合（1）的结论即可求解．

解答：（1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．
∵

CD

=

CB

，
∴CD=CB，∠1=∠2．
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF=CE．
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴AF=AE，DF=BE，
∴AD+DF=AB-BE，
∴AB=AD+DF+BE=AD+2BE，
∴AB=AD+2BE．

（2）解：∵S_△ADC=

1

2

AD×CF=

15

2

3

，
∴CF=

5

2

3

，
由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE，
∴∠B=∠CDF=60°，
在△CDF中，求得DF=

5

2

．
∴AB=AD+2BE=6+

5

2

×2=11．

点评：解决此题的关键是巧妙构造全等三角形，综合运用圆周角定理的推论和全等三角形的判定及性质．