Question

【题目】定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”

判断下列两个命题是真命题还是假命题填“真”或“假”

等边三角形必存在“和谐分割线”

如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．

命题是______命题，命题是______命题；

如图2，，，，，试探索是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．

如图3，中，，若线段CD是的“和谐分割线”，且是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数．

Answer 1

【答案】（1）假，真；（2）（3）的值为或．

【解析】

根据“和谐分割线”的定义即可判断；

如图作的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可，并根据三角函数或相似求AD的长；

分2种情形讨论即可

等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；

如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”，正确，是真命题，

故答案为：假，真；

存在“和谐分割线”，理由是：

如图作的平分线，

，，

，

，

是等腰三角形，且∽，

线段AD是的“和谐分割线”，

．

如图3中，分2种情形：

当，∽时，

设，则

，

可得．

当，∽时，

设，则

，

可得．

综上所述，满足条件的的值为或．