Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，⊙O的切线EF交BC于点F，连接BD．若DC=DE，AB=BD，则

DC

AB

=

3

5

，

BF

CF

=

2

3

．

Answer 1

分析：过点C作CM⊥AB，设AE=x，DC=DE=y，根据等腰梯形的性质可得出AB=y+2x，EB=x+y，根据AB²=BD²，得出y与x的关系式，然后将此关系式代入

DC

AB

即可得出答案；
根据AD²=AE²+DE²=x²+（3x）²可求出AD的长度，然后判断RT△AED∽RT△BEF，从而得出BF的表达式，解出CF的长度表达式，继而代入可得出

BF

CF

的值．

解答：解：过点C作CM⊥AB，

设AE=x，DC=DE=y，
∵AD为直径，
∴∠DEA=90°，
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AE=BM，
∴AB=DC+AE+BM=DC+2AE=y+2x，EB=DC+MB=y+x，
∵AB=BD，
∴AB²=BD²，即（y+2x）²=DE²+EB²=y²+（y+x）²，
整理得：3（

x

y

）²+2（

x

y

）-1=0，即可得：[3（

x

y

）-1][（

x

y

）+1]=0，
∴

x

y

=

1

3

，（负值舍去），
∴y=3x；
故可得：

DC

AB

=

y

y+2x

=

3x

3x+2x

=

3

5

；
∵AD²=AE²+DE²=x²+（3x）²=10x²，
∴AD=

10

x，
∵AD=BC，∠DAE=∠CBE，∠DAE=∠DEF，（同弧上的圆周角），∠DAE+∠ADE=90°=∠DEF+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
又∵∠EFB=180°-∠BEF-∠CBE=180°-（∠ADE+∠DAE）=180°-90°=90°，
∴RT△AED∽RT△BEF（AAA），
∴

BE

AD

=

BF

AE

，即

x+3x

x 10

=

BF

x

，
解得：BF=

2x 10

5

，
又∵CF=BC-BF=AD-BF=x

10

-

2x 10

5

=

3x 10

5

，
∴

BF

CF

=

2x 10 5

3x 10 5

=

2

3

．
故答案为：

3

5

、

2

3

．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了切线的性质、等腰梯形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是设出线段的长度，利用方程的思想进行线段比值的求解，技巧性较强，难度较大．