Question

如图10-1，在△A B B′和△A C C′中，∠B A B′=∠C A C′=m°，AC=AC'，AB=AB'．
（1）不添加辅助线的前提下，请写出图中满足旋转变换的两个三角形分别是：           ；旋转角度是            °；
（2）线段BC、B'C'的数量关系是：         ；试求出BC、B'C'所在直线的夹角：         ；

（3）随着△ACC'绕点A的旋转，（2）的结论是否依然成立？请从图10-2、图10-3中任选一个证明你的结论；
（4）利用解决上述问题所获得的经验探索下面的问题：如图10-4，等边△ABC外一点D，且∠BDC=60°,连接AD，试探索线段AD、CD、BD的数量关系．
 

Answer 1

（1）△A B C和△A B′ C′；旋转角度是m°
（2）线段BC=B'C',  BC、B'C'所在直线的夹角：m°或（180- m ）°
（3）成立，证明略。
（4）BD=" MD" + BM =AD+DC，证明略。

解析
（1）
△A B C和△A B′ C′；旋转角度是m°；                     ……………………2分
（2）
线段BC=B'C',  BC、B'C'所在直线的夹角：m°或（180- m ）°；………………3分

 
（3）成立
图10-2、在△A B C和△A B′ C′中，
∠B A B′=∠C A C′=m°，AC=AC'，AB=AB'
∠B A C =∠B A B′+∠C′A B，
∠B′ A C′=∠C A C′+∠C′A B
即∠B A C=∠B′ A C′                  ……………………4分
 A B′ C′                 ……………………5分
∴BC=B'C'                            ……………………6分
延长B'C'交BCG于点M，设AB与B′ C′交于点O
∵∠CBA =∠ C'B′A， ∠MOB =∠AOB′  ……………………7分
∴∠BM C′=∠BA B′="m°                 " ……………………8分
（4）方法一：
BD=AD+DC
如图10-4，在BD上截取BM=CD，连结AM ……………………9分
∵等边△ABC，
∴∠BAC=∠BDC=60°
又∠BOA=∠DOC，
∴∠ ABM=∠ACD
∵AB=AC
∴                     ……………………11分
∴BM=DC，AM=AD，∠BAM=∠CAD
∴∠BAC=∠MAD=60°
∴△AMD为等边三角形
∴MD=AD
∴BD=" MD" + BM ="AD+DC               " ……………………12分
方法二：如图10-5，在BD上截取DM=DC，先证明△CMD为等边三角形，再证明△ADC≌△BMC；
方法三：如图10-6，延长DC至M，使得DM=DB，先证明△BMD为等边三角形，再证明△BDC≌△BMC；
仿照方法一给分.