Question

如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F。

（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=____°，猜想∠QFC=____°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式。

Answer 1

解：（1）∠EBF=30°，∠QFC=60°； （2）∠QFC=60°， 不妨设BP＞，如图1所示， ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP， ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP， ∴∠BAP=∠EAQ， 在△ABP和△AEQ中， AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ， ∴△ABP≌△AEQ（SAS）， ∴∠AEQ=∠ABP=90°， ∴∠BEF=， ∴∠QFC=30°+30°=60°； （3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G， ∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=， 由（1）得30°， 在Rt△BGF中，， ∴BF=， ∴EF=2， ∵△ABP≌△AEQ， ∴QE=BP=x， ∴QF=QE+EF=x+2， 过点Q作QH⊥BC，垂足为H， 在Rt△QHF中，（x＞0） 即y关于x的函数关系式是：。