题目内容

（2013•普洱）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
12
x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．
分析：（1）根据函数图象经过的两点的坐标利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）分当BC为斜边时和当BC为直角边时两种情况确定点E的坐标即可；
（3）根据S△ABC利用S△BCD：S△ABC=1：4，求得S△BCD=
1
4
S△ABC=
1
4
×12=3．设D的坐标为（x，-
1
2
x2+x+4），作DE⊥x轴于点E，利用S△BCD=S梯形BOED+S△DCE-S△BOC即可求得点D的坐标为（1，
9
2
）或（3，
5
2
）．
解答：解：（1）∵抛物线y=-
1
2
x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，
∴
-
1
2
×(-2)2+b×(-2)+c=0
-
1
2
×42+b×4+c=0
，
解得
b=1
c=4
．
∴抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+x+4．

（2）在第一象限外存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似．
①当BC为斜边时，
△BOC即为所找的△BCE是直角三角形，但是它与Rt△AOB不相似；
②当BC为直角边时，
若点B为直角顶点，则点E的坐标为（-8，-4），此时点E不在抛物线上；
若点B为直角顶点，则点E的坐标为（-4，-8），此时点E在抛物线上．

（3）∵S△ABC=
1
2
×6×4=12，S△BCD：S△ABC=1：4，
∴S△BCD=
1
4
S△ABC=
1
4
×12=3．
如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，-
1
2
x2+x+4），作DE⊥x轴于点E，则
S△BCD=S梯形BOED+S△DCE-S△BOC
=
1
2
×(-
1
2
x2+x+4+4)×x+
1
2
×(4-x)×(-
1
2
x2+x+4)-
1
2
×4×4=3．
即x2-4x+3=0，
解得x1=1，xx2=3．
∴点D的坐标为（1，
9
2
）或（3，
5
2
）．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中涉及到的将点的坐标转化为线段的长更是解决二次函数知识的常用方法．
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．
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