Question

【题目】如图①，正方形ABCD的边长为4，动点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A﹣D﹣A连续做往返运动；动点G从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动．E、G两点同时出发，当点G到达点B时停止运动，点E也随之停止．过点G作FG⊥AB交AC于点F，以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH，使∠FGH＝90°．设点G的运动时间为t（秒），△FGH与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．

（1）当t＝1时，l＝　 　．

（2）当t＝3时，求l的值．

（3）设DE＝y，在图②的坐标系中，画出y与t的函数图象．

（4）当四边形DEGF是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）2+；（2）6+；（3）见解析；（4）t＝或t＝4

【解析】

（1）根据正方形和等腰三角形的性质得出AG=FG=GH=t，t=1时，重叠部分周长=FG+GH+FH，据此可得；
（2）由（1）知AG=FG=GH=3，根据AB=4得GB=1、BH=BP=2，由重叠部分的周长=FG+GB+PB+PF可得答案；
（3）分点E从A到D和点E从点D返回点A两种情况，分别求解得出解析式，继而画出函数图象即可；
（4）由FG∥DE知，若四边形DEGF是平行四边形，则DE=FG，据此根据DE的解析式分别求解可得．

（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=AD=4、∠CAB=45°，
∵△FGH是等腰直角三角形，
∴∠FGH=90°、FG=GH、∠GFH=∠GHF=45°，
则AG=FG=GH=t，
当t=1时，如图1，

重叠部分面积周长=FG+GH+FH=1+1+=2+．
故答案为：2+．
（2）当t=3时，如图2，

由（1）知AG=FG=GH=3，
∵AB=4，
∴GB=AB-AG=1、BH=GH-GB=2，PF=，
∵∠PBH=90°、∠H=45°，
∴BH=BP=2，
则重叠部分周长=FG+PB+GB+PF=3+1+2+=6+．
（3）由题意知点E的运动路程为2t，
如图1，点E从A到D时，即0≤t≤2，DE=AD-AE=4-2t，即y=4-2t；
如图2，点E从点D返回点A时，即2＜t≤4，DE=2t-4，即y=2t-4；
y与t的函数图象如图3所示：

（4）∵∠DAB=∠FGH=90°，
∴FG∥AD，即FG∥DE，
若四边形DEGF是平行四边形，则DE=FG，
当0≤t≤2时，4-2t=t，
解得：t=；
当2＜t≤4时，2t-4=t，
解得：t=4；
综上所述，当四边形DEGF是平行四边形时，t=或t=4．