Question

如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°．
（1）求证：△ACF∽△BEC；
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF•BE=2S．

Answer 1

证明：（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B
∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；
∴∠BCE=∠2
∵∠A=∠B，∠BCE=∠2，
∴△ACF∽△BEC．

（2）∵△ACF∽△BEC
∴=，即AC•BC=BE•AF，
∴△ABC的面积：S=AC•BC=BE•AF
∴AF•BE=2S．
分析：（1）所求的两个三角形中，∠A、∠B同为45°，∠BCE、∠2均为45°+∠ECF，由此可得两组对应角相等，即可证得所求的三角形相似．
（2）利用（1）题相似三角形所得比例线段即可证得此题的结论．
点评：此题主要考查的是等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形面积的计算方法，难度适中．