题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（ 
，1）在反比例函数y= 
的图象上．
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= 
S△AOB ， 求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．
【答案】
（1）
解：∵点A（ 
，1）在反比例函数y= 
的图象上，
∴k= ×1= ，
∴反比例函数表达式为y= 
.
（2）
解：∵A（ ，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC= ，AC=1，
∵OA⊥OB，OC⊥AB，
∴∠A=∠COB，
∴tan∠A= 
=tan∠COB= 
，
∴OC2=ACBC，即BC=3，
∴AB=4，
∴S△AOB= 
× ×4=2 ，
∴S△AOP= S△AOB= ，
设点P的坐标为（m，0），
∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=﹣2 ，
∴点P的坐标为（﹣2 ，0）
（3）
解：由（2）可知tan∠COB= = 
= ，
∴∠COB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴∠OBD=60°，
∴∠ABD=90°，
∴BD∥x轴，
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，
∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，
∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，
∴E（﹣ ，﹣1），
∵﹣ ×（﹣1）= ，
∴点E在该反比例函数图象上
【解析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=ACBC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
