Question

（2013•张湾区模拟）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是

4＞x≥2.4

．

Answer 1

分析：根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=

1

2

EF=

1

2

AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．

解答：解：连接AP，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB²+AC²=36+64=100，BC²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=

1

2

EF=

1

2

AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S_△BAC=

1

2

×6×8=

1

2

×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
故答案为：4＞x≥2.4．

点评：本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，关键是求出AP的范围和得出AM=

1

2

AP．