Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．
（1）求证：OD∥BE；
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,梯形,圆周角定理

专题：几何综合题

分析：（1）连接OE，证出Rt△OAD≌Rt△OED，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出∠AOD=∠ABE，利用同位角相等两直线平行得到OD∥BE，
（2）由Rt△COE≌Rt△COB，得到△COD是直角三角形，利用S_梯形ABCD=2S_△COD，
求出xy=48，结合x+y=14，求出CD．

解答：（1）证明：如图，连接OE，

∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
在Rt△OAD和Rt△OED，
，

OA=OE OD=OD

∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）
∴∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，
在⊙O中，∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．

（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，
∴∠COE=∠COB=

1

2

∠BOE，
∵∠DOE+∠COE=90°，
∴△COD是直角三角形，
∵S_△DEO=S_△DAO，S_△OCE=S_△COB，
∴S_梯形ABCD=2（S_△DOE+S_△COE）=2S_△COD=OC•OD=48，
即xy=48，
又∵x+y=14，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=14²-2×48=100，
在Rt△COD中，
CD=

OC2+OD2

=

x2+y2

=

100

=10，
∴CD=10．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．关键是综合运用，找准线段及角的关系．