Question

已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似．

Answer 1

分析：根据P是CD的中点以及正方形的四条边都相等的性质求出PD与PC的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，分①当DP与PC是对应边，②当DP与CQ是对应边时，分别列出比例式求出CQ的长度，再根据正方形的边长是1即可求出BQ．

解答：解：∵正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，
∴PD=PC=

1

2

，
①当DP与PC是对应边时，

DP

PC

=

AD

CQ

，
即

1 2

1 2

=

1

CQ

，
解得CQ=1，
∴BQ=BC-CQ=1-1=0；
②当DP与CQ是对应边时，

DP

CQ

=

AD

PC

，
即

1 2

CQ

=

1

1 2

，
解得CQ=

1

4

，
∴BQ=BC-CQ=1-

1

4

=

3

4

，
综上所述，BQ的长度是0或

3

4

时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似．

点评：本题考查了正方形的四条边都相等的性质，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边不明确，所以要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．