Question

【题目】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．

（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：

三三角形角形	角的已知量
图2	∠A=2∠B=90°
图3	∠A=2∠B=60°

（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；

（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）第三边的长为或或或4或．

【解析】

（1）由题意可分别得出相应角的度数，求解特殊角的三角函数值即可；（2）由第（1）猜测a，b，c的关系是=，如图4作出辅助线，不难证明△CBD∽△CAB，由相似三角形的性质写出对应边的比值，得出结论；（3）分类讨论分别求出第三边长即可.

（1）

三角形	角的已知量
图2	∠A=2∠B=90°
图3	∠A=2∠B=60°

（2）猜测a，b，c的关系是=，延长CA至D，使AD=AB（如图4）；

∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，

∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，

∵∠CAB=2∠CBA，

∴∠D=∠CBA，

又∵∠C=∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴=，即=；

（3）①当a=5，b=6时，

由（2）得：=，解得c=﹣（不合题意舍去）；

②当a=6，b=5时，

=，解得c=；

③当a=5，c=6时，

=，解得b=﹣3（负值舍去）；

④当a=6，c=5时，

=，解得b=4（负值舍去）；

⑤当b=5，c=6时，

=，解得a=（负值舍去）；

⑥当b=6，c=5时，

=，解得a=（负值舍去）；

综上可知：第三边的长为或或﹣3或4或．