Question

已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，AO²+BO²=10，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明△ADC是直角三角形；
（3）第一象限内，在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先根据抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0），得出AO²+（-1）²=10，即可得出A点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）首先求出顶点坐标，再求出AD²=CD²+AC²，即可得出答案；
（3）首先得出Rt△BOC∽Rt△GAC，即可得出AG的长，再得出CG的解析式，求出直线与抛物线解析式交点即可．

解答：（1）解：∵抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）
∴AO²+（-1）²=10，
∴AO²=9，
∴AO=±3，∴A（3，0）
把A（3，0）、B（-1，0）代入y=ax²+bx+3得：

9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；

（2）证明：∵抛物线的解析式：
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点 D（1，4）
由（1）得：∴AC²=3²+3²=18，
CD²=2，AD²=20，
∴AD²=CD²+AC²，
∴△ADC是直角三角形．

（3）解：过A作AG⊥AC交CE于G，过G作GH⊥x轴于H，
∵∠ECO=∠ACB，∴∠ECA=∠BCO，
∵∠COB=∠CAG，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴

OB

AG

=

OC

AC

，
∴

2

AG

=

3

3 2

，
∴AG=

2

由OC=OA，GH⊥x轴，
∴AH=GH，∴AH²+GH²=AG²
得AH=GH=1，
∴G点坐标为（4，1），
将C（0，3），G（4，1）代入y=kx+c得：

c=3 4k+c=1

，
解得：

k=- 1 2 c=3

∴直线CG的解析式为：y=-

1

2

x+3，
联立：y=-

1

2

x+3与y=-x²+2x+3，
-

1

2

x+3=-x²+2x+3，
解得：x₁=

5

2

，x₂=0（与A点重合舍去），
x=

5

2

时，y=

7

4

，
∴E（

5

2

，

7

4

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质和图象交点求法，利用数形结合得出是解题关键．